证明下列不等式成立 2^x＞x^2 （x＞0）

是X＞4

两边取对数
只要证明xln2>2lnx
令f(x)=xln2-2lnx
则f'(x)=ln2-2/x=(xln2-2)/x
令f'(x)=0得x=2/ln2,
当0<x<2/ln2时,f'(x)<0,所以f(x)递减,
当x>2/ln2时,f'(x)>0,所以f(x)递增
函数f(x)有极小值,也是最小值f(2/ln2)=2-2ln(2/ln2)>0
所以xln2-2lnx>0. 得证.

因为2的x次方和x的2次方在x>4时都为增函数，所以两边同时取对数，得log以2为底x的对数 和 log以x为底2的对数，因为后者为0而前者一定大于0，所以根据增函数特性，原式成立

由题意得 (1)x1 ﹥0 且 x2-2﹥0 x2﹥0 所以x﹥0 (2)x1﹤0 且 x2+2﹤0 x2﹤-2 所以x﹤-2 所以x﹤-2 或x﹥0

用图像法解就可以了。 这是一个超越方程，很难用普通的方法解出答案来，因此可以画出图像来观察。 很容易可看到两个交点，一个是x=2，一个x＜0，但是由于指数最后函数增长一定会比二次函数快，因此，在x>2的范围内一定还有一个交点，从这个交点起，指数函数的增长比二次函数快，

证明: 构造函数f(x)=(2^x)-x². (x＞4) 求导, f'(x)=[(2^x)ln2]-2x f''(x)=[(2^x)ln²2]-2. 显然,二阶导函数f''(x)=[(2^x)ln²2]-2 在(4,+∞)上为递增函数, ∴此时恒有f''(x)＞f''(4)=2[(8ln²2)-1]≈5.687 ∴在(4,+∞)上,一阶导函数f'(x)递增, ∴此时恒有f'(x)＞f'(4)=(16ln2)-8=8[(2ln2)-1]≈3.09＞0 ∴此时函数f(x)在(4,+∞)上递增 ∴此时恒有f(x)＞f(4)=0 即恒有f(x)＞0, (x＞4) ∴(2^x)-x²＞0. x＞4 即恒有2^x＞x², x＞4

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