如何证明黎曼函数中,当s为-2n时（n是正整数）,函数值为0

如何证明黎曼函数中,当s为-2n时（n是正整数）,函数值为0

首先回顾Riemann ζ函数的定义：若Res>1,则ζ(s)=∑{n>=1} 1/n^s；若Res其中Γ表示Gamma函数：Γ(z)=∫[0,∞) t^(z-1)e^(-t) dt（或者等价地用函数方程：当s≠0且s≠1时有π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^(-(1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)）；若0令s=-2n,满足Res=(2^(-2n))(π^(-2n-1))sin(-nπ)Γ(1+2n)ζ(1+2n)=(2^(-2n))(π^(-2n-1))((2n)!)ζ(1+2n)*sin(-nπ),而其中sin(-nπ)=0,所以ζ(-2n)=0.证毕

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