3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除？

3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除？

根据规律：从一次方开始，末尾数：3、9、7、1、3、9、7、1、3、9、、、48除4是整除，则末尾为一，减一后为零，倒数第二位为二，则可以被10或20整除。

3^48-1=（3^4）^12-1=(80+1)^12-1=80P 因此3的48次方-1可以被10,16，20整除 3^48-1=（3^3）^16-1=(26+1)^16-1=26Q 因此3的48次方-1可以被26整除 3^48-1=（3^6）^8-1=(728+1)^8-1=728R 因此3的48次方-1可以被14,28整除 整除3^48-1的偶数为10，14，16，20，26，28

3^48-1=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1) 取最后两个，就是28和26 所以答案就是28和26啦 有这个公式，不知道你们学没：a^2-b^2=(a+b)(a-b).按照这个把3^48-1分解啊。就是(3^24+1)(3^24-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^12-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^6-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)了 越往后分解越小，给的就是30以内的当然取小的了

1、首先，原数不能被3整除，可把3的倍数排除； 2、原数＝27^16-1=(27^8+1)(27^4+1)(27^2+1)(27+1)(27-1) 前2项为偶数，后3项为730*28*26，因此可知能被10、14、16、20、26、28整除； 3、剩下的是22，能否整除？可用求余数的一般方法(降次)： 原数＝27^16-1=(22+5)^16-1，除以22后，余数为5^16-1 5^16-1=25^8-1=(22+3)^8-1，除以22后，余数为3^8-1 3^8-1=3^6*9-1=27^2*9-1=(22+5)^2*9-1，除以22后，余数为25*9－1＝224 224不能被22整除，所以原数不能被22整除 所以答案是：10、14、16、20、26、28

本题的实质就是求出3^48-1的所有的最小质数因数。然后这些质数相乘小于30的就出来了。 (3^24+1)(3^24-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^12-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^6-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)。 其中3^24+1=(3^8+1)(3^16-3^8+1)=(3^2+1)(3^4-3^2+1)(3^16-3^8+1)=10*73*(3^16-3^8+1)=2*5*73*(3^16-3^8+1) 3^12+1=(3^4+1)(3^8-3^4+1)=81*(3^8-3^4+1)=3*3*3*3*(3^8-3^4+1) 3^6+1=(3^2+1)(3^4-3^2+1)=2*5*73 3^3+1=28=(3+1)*(3^2-3+1)=2*2*7 3^3-1=(3-1)*(3^2+3+1)=2*13 所以，3^48-1=2*5*73*(3^16-3^8+1)*3*3*3*3*(3^8-3^4+1)*2*5*73*2*2*7*2*2*7*2*13 =2*5*3*3*3*3*2*5*73*2*2*7*2*2*7*2*13*(3^16-3^8+1)*(3^8-3^4+1) 所以，满足条件的偶数有：2*2*2*2=16，2*2*2*3=24，2*3*2=12，2*3*3=18，2*3*5=30，2*5=10，2*5*2=20，2*7=14，2*7*2=28，2*13=26。 所以，有10，12，14，16，18，20，24，26，28，30.

主要思路： 1、检查3^48-1含有多少个因子2，检查到16为止即可 2、分别检查3^48-1的小素因子，检查5，7，11，13即可 3^48-1=81^12-1=(80+1)^12-1≡1^12-1=0(mod 80)，可被5、16整除 3^48-1=27^16-1=(26+1)^16-1≡1^16-1=0(mod 26)，有因子13 3^48-1=27^16-1=(28-1)^16-1≡(-1)^16-1=0(mod 28)，有因子7 3^48-1=243^9·3^3-1=(2·11·11+1)^9·27-1≡(1)^9·5-1≡4(mod 11)，没有因子11 所以10~30以内可整除3^48-1的偶数为10，14，16，20，26，28

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