设n为整数，如果存在整数 x y z 满足 n = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 - 3xyz,则称有性质P……

设n为整数，如果存在整数 x y z 满足 n = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 - 3xyz,则称有性质P……

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
=(1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
>=0

1是可以的，只要x=1,y=0,z=0即可。

如果5可以，那么
x+y+z=1
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=5
这时，1=(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2xy+2yz+2zx
x^2+y^2+z^2=11/3
xy+yz+zx=-4/3
与x,y,z整数矛盾

x+y+z=5
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1
这时，25=(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2xy+2yz+2zx
x^2+y^2+z^2=9
xy+yz+zx=8
所以x,y,z都是-3到3之间的整数。
验证得到
x=2
y=2
z=1
可以
所以5是可以的

2013=3*11*61
(x+y+z)^2>=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
12<2013^(1/3)<13
所以x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx<13*13=169
所以x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=61或33或11或3或1

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=61时
x+y+z=33
(x+y+z)^2=1089
3(x^2+y^2+z^2)=1089+2*61=1211
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=33时
x+y+z=61
(x+y+z)^2=3721
3(x^2+y^2+z^2)=3721+2*33=3787
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=11时
x+y+z=183
(x+y+z)^2=33489
3(x^2+y^2+z^2)=33489+2*11=33511
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=3时
x+y+z=671
(x+y+z)^2=450241
3(x^2+y^2+z^2)=450241+2*3=450247
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1时
x+y+z=2013
(x+y+z)^2=4052169
3(x^2+y^2+z^2)=450241+2*1=4052171
与x,y,z是整数矛盾

所以2013不行

2014=2*19*53

(x+y+z)^2>=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
12<2013^(1/3)<13
所以x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx<13*13=169
所以x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=106或53或38或19或2或1

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=106时
x+y+z=19
(x+y+z)^2=361
3(x^2+y^2+z^2)=361+2*106=573
x^2+y^2+z^2=191
x,y,z都是-13到13之间的整数
验证，无解

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=53时
x+y+z=38
(x+y+z)^2=1444
3(x^2+y^2+z^2)=1444+2*53=1550
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=38时
x+y+z=53
(x+y+z)^2=2809
3(x^2+y^2+z^2)=2809+2*38=2885
与x,y,z是整数矛盾

当x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=19时
x+y+z=106
(x+y+z)^2=11236
3(x^2+y^2+z^2)=11236+2*19=11274
x^2+y^2+z^2=3785
x=33

y=35
z=38
符合

所以2014可以

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