用数学归纳法证明:3*7^(k+1)+6能被9整除

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解决时间 2021-02-23 08:13

提问者网友：爱了却不能说
2021-02-22 07:45

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五星知识达人网友：鱼芗
2021-02-22 08:08

k=1,3*7^(k+1)+6=153可以被9整除假设k=n时,3*7^(k+1)+6=3*7^(n+1)+6可以被9整除则当k=n+1时3*7^(k+1)+6=3*7^(n+2)+6=3*7*7^(n+1)+6=21*7^(n+1)+6因为21*7^(n+1)+6=18*7^(n+1)+3*7^(n+1)+6因为18*7^(n+1)和3*7^(n+1)+6都能被9整除所以21*7^(n+1)+6能被9整除,即3*7^(n+2)+6能被9整除所以3*7^(k+1)+6可以被9整除======以下答案可供参考======供参考答案1:证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除数学归纳法 (1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除 (2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1 =(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k =[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k 括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除综合(1)(2)可知对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除供参考答案2:k=1，3*7^(k+1)+6=153可以被9整除假设k=n时，3*7^(k+1)+6=3*7^(n+1)+6可以被9整除则当k=n+1时 3*7^(k+1)+6=3*7^(n+2)+6=3*7*7^(n+1)+6=21*7^(n+1)+6 因为21*7^(n+1)+6 =18*7^(n+1)+3*7^(n+1)+6 因为18*7^(n+1)和3*7^(n+1)+6都能被9整除所以 21*7^(n+1)+6能被9整除，即3*7^(n+2)+6能被9整除所以3*7^(k+1)+6可以被9整除证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除数学归纳法 (1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除 (2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1 =(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k =[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k 括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除综合(1)(2)可知对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除供参考答案3:(1）当K=1时，3*7^(1+1)+6=153,能被9整除。(2)假设当k=n时能被9整除，即3*7^(n+1)+6能被9整除。那么当k=n+1时，3*7^(n+1+1)+6=3*7*7^(n+1)+6=3*7^(n+1)+6+6*3*7^(n+1).由假设可知，3*7^(n+1)+6能被9整除，而后式6*3*7^(n+1)=18*7^(n+1)，能被9整除。所以3*7^(n+1+1)+6能被9整除。综上可得，当k=n时能被9整除，则k=n+1时，同样能被9整除。综合1，2所述可知，3*7^(n+1)+6能被9整除。

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1楼网友：煞尾
2021-02-22 08:46

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