已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-32x+b最多只有一个交点；（2）若方程f（x）=log4（a?2x-4a3）有且只有一个解，求实数a的取值范围．

（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴log4(4?x+1)?kx＝log4(4x+1)+kx，
∴log4
4x+1
4?x+1 ＝?2kx，
化为x=-2kx，对一切x∈R恒成立，解得k＝?
1
2 ．
由题意可知：只要证明函数f（x）+
3
2 x=log4(4x+1)+x在定义域R上单调即可．
∵函数y=4x与y=x在R单调递增，∴函数y＝log4(4x+1)+x在R上单调递增．
因此对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-
3
2 x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log4（a?2x-
4a
3 ）有且只有一个解，
即log4(4x+1)?
1
2 x＝log4(a?2x?
4a
3 )，化为2x+
1
2x ＝a?2x?
4a
3 ，即此方程有且只有一个解．
令t=2x＞0，上述问题化为方程(a?1)t2?
4a
3 t?1＝0有且只有一个正根．
①若a=1，解得t＝?
3
4 ，不合题意，应舍去；
②a≠1，由△=0，解得a=
3
4 或-3．
当a＝
3
4 时，t=-2不合题意，应舍去；当a=-3时，t＝
1
2 ，满足题意．
③若a≠1，△＞0，且方程有一个正根和一个负根时，
?1
a?1 ＜0，解得a＞1．
综上a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈r）是偶函数． ∴f（-x）=f（x） 即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx ∵log4（4-x+1）=log4（ 4x+1 4x ）=log4（4x+1）-log44x=log4（4x+1）-x， ∴log4（4x+1）-（k+1）x=log4（4x+1）+kx， 即2k+1=0 ∴k＝? 1 2 证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）+ 1 2 x 令y=log4（4x+1）-x 由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正 故当b＞0时，y=log4（4x+1）+ 3 2 x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一个交点， 当b≤0时，y=log4（4x+1）+ 3 2 x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点 对任意的实数b，函数y=f（x）图象与直线y=- 3 2 x+b最多只有一个公共点．

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