星形线围成的面积怎么算

由对称性,S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

拓展资料：

星形线是内摆线的一种。星形线的周长为6*a，它所包围的面积为(3*PI*a^2)/8. 它与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体表面积为(12*Pi* a^2)/5，体积为(32*PI*a^3)/105.。

星形线(Astroid)星形线星形线的方程

直角坐标方程:x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

参数方程:x=a*(cost)^3,y=a*(sint)^3 (t为参数)

星形线像夜空中光芒四射的星星，因此得名。在纸上任意作若干条长度为R的线段，使它们的两端分别在x轴和y轴上，然后在每一象限里画一段光滑的曲线弧，使它们与这些线段相切，这样一条星形线就画出来了。由画图过程可以看出，星形线是由一组直线包络构成的。

一扇折叠式的公共汽车车门可以表示成平面形式，其中O是门轴，OB为滑槽。在车门开闭过程中，定长BC的两端分别沿x轴和y轴滑动，因此可得到一条星形线，但由于车门只是在第一象限活动，所以一扇车门实际活动的过程如上图的形状，它是由圆弧MN和星形线弧NP构成。

也就是说这扇车门活动的范围，由扇形OMN的面积、三角形ONQ的面积与星形线弧所组成的曲边三角形面积的和所组成。根据计算，它的总面积为 。而一扇宽度为2a的普通车门开关的过程形成一条以2a为半径的 圆弧，它的面积为 。

因此一扇折叠式车门所占的地方只占普通车门的3/16 ，大大节约了空间，使车辆能载更多的乘客。

计算公式如下：

[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面积
S=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8

拓展资料：

星形线是内摆线的一种。

星形线（astroid）或称为四尖瓣线（tetracuspid），是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。

其英文名称得名自希腊文的星星，星形线几乎和椭圆的渐屈线相同。

若让一个半径为1/4的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。

参考资料：百度百科-星形线

星形线关于x轴和y轴对称的，如图，x=a(cost)^3，y=a(sint)^3

其中a>0，t从0变到π/2正好是它在第一象限部分的图像，所以：

S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2)
(sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6]
dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8 

拓展资料

1、星形线是内摆线的一种，或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。

2、所有星形线皆可以依以下的方程式比例缩放而得： 

3、若让一个半径为1/4的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。

4、星形线的参数方程为：

5、的对偶曲线是十字架形曲线，其方程式为：  

6、一个半径为 a之圆的内摆线构成的星形线，其面积为  ，周长为6a。

参考资料：百度百科：星形线