证明 a的4次方+b的4次方+c的4次方 大于等于 abc(a+b+c)

证明 a的4次方+b的4次方+c的4次方 大于等于 abc(a+b+c)

因为我们熟知x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
(如果不知道的话，将上式两边都乘以2，并移项，可以成三个完全平方之和>=0）

那么
a^4+b^4+c^4
>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
=(a^2b^2+b^2c^2)/2+(b^2c^2+c^2a^2)/2+(c^2a^2+a^2b^2)/2
>=根号(a^2b^4c^2)+根号(b^2c^4a^2)+根号(c^2a^4b^2)
=|abc|(|a|+|b|+|c|)
>=abc(a+b+c)

a^4+b^4+c^4＞a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 <===> 2*(a^4+b^4+c^4)＞2*(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) <===> 2*(a^4+b^4+c^4)-2*(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)＞0 <===> (a^4-2a^2b^2+b^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)+(c^4-2c^2a^2+a ^4)＞0 <===> (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2＞0 因为(a^2-b^2)^2≥0、 (b^2-c^2)^2≥0、(c^2-a^2)^2≥0 但a、b、c互不相等 因此，上述不等式的左边三项至少有一项不为零 因此：(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2＞0 　 不等式的右边采取与上述完全相同的方法，也可以获得结论！

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