在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD平行BC，AB=BC，E为AB中点，CE垂直BD，求证（1）BE=AD

在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD平行BC，AB=BC，E为AB中点，CE垂直BD，求证（1）BE=AD（2）AC垂直平分ED（3）△DBC为等边三角形

1）因CE⊥BD， AB⊥BC ，故∠ABD=∠ ACB ，又AB=BC  ，故Rt三角形ABD≌ BCE ，故BE=AD

2）因E为AB中点，即AD=AE  ，又∠ BAC=∠ DAC=45度 ，故AC为等腰Rrt三角形AEDD的

   ∠ A 的角平分线 ，所以AC垂直平分ED

3）因∠ DBC ≠60度 ，故△DBC不可能是等边三角形  ，因AD=1/2 BC ，过D作DF⊥ BC 交于F

     因BF=FC ，故△DBC为等腰三角形

EC⊥DB的交点是F,EC交DB的另一个点不需要标字母

ED与AC的交点为H（最后剩下的点)

(1)

∵AD‖BC，∠ABC=90°

∴∠DAB=∠EBC=90°

∵CE⊥BD

∴∠BFC=90°

∴∠FCB+∠FBC=90°

∵∠ABC=90°

∴∠ABD+∠DBC=90°

∴∠FCB=∠ABD

  在△ABD与△EBC中

    ∠DAB=∠EBC=90°

    AB=BC

    ∠FCB=∠ABD

∴△ABD≌△EBC

∴AD=EB

(2)

∵E是AB的中点

∴AE=EB

∵AD=EB

∴AD=AE

∴△AED是等腰三角形

∵AD//BC

∴∠DAC=∠ACB

∵AB=BC

∴∠BAC=∠ACB

∴∠BAC=∠DAC

∵等腰三角形三线合一

∴AC是线段ED的⊥平分线

(3)△DBC是等腰三角形

∵AC是线段ED的⊥平分线

∴ED⊥AC,EH=DH

∴∠EHC=∠DHC=90°

    在△EHC与△DHC中

    EH=HD

    ∠EHC=DHC=90°

    HC=CH

∴△EHC≌△DHC

∴EC=DC

∵△ABD≌△EBC

∴EC=DB

∴DC=DB

∴△DBC是等腰三角形

证明：设BD、CE交于点，因为BD垂直于CE，所以<DBC等于<CEB，所以<BCE等于于<ABD，又因<A等于<ABC,AB等于BC，所以ABD全等于CBE，所以BE等于AD。

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