微分的意义是什么
- 提问者网友：椧運幽默
- 2021-12-17 16:23
- 五星知识达人网友：躲不过心动
- 2021-12-17 16:32
- 1楼网友：思契十里
- 2021-12-17 17:23
微分
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + δx在此区间内。如果函数的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示为 δy = aδx + o(δx)（其中a是不依赖于δx的常数），而o(δx0)是比δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且aδx称作函数在点x0相应于自变量增量δx的微分，记作dy，即dy = aδx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→０）。 通常把自变量x的增量 δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 当自变量x改变为x+△x时，相应地函数值由f(x)改变为f(x+△x)，如果存在一个与△x无关的常数a，使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差是△x→０关于△x的高阶无穷小量，则称a·△x是f(x)在x的微分，记为dy，并称f(x)在x可微。一元微积分中，可微可导等价。记a·△x=dy，则dy=f′(x)dx。例如：d(sinx)=cosxdx。微分
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想
推导 设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中a是不 依赖于△x的常数， 是△x的高阶无穷小，则称函数 在点x0可微的。 叫做函数 在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy＝ 。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差 是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为： 还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为
微分
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几何意义 设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲
几何意义
线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。当|δx|很小时，|δy－dy|比|δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点m附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
多元微分 同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。
运算法则 dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
微分
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
微分表 d(x^3/3)=x^2dx
基本公式
d(-1/x)=1/x^2dx
d(lnx)=1/xdx
d(-cosx)=sinxdx
d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
形式不变性 则复合函数的微分为：，由于，因此我们可以把复合函数的微分写成。不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示，这一性质称为微分形式不变性。
微分
微分
微分
积分：数学的一门学科；找出被积函数中一函数或解一微分方程的演算。