p是奇素数，证明2^2*4^2*6^2*...*(p-1)^2(mod p)同余于(-1)^((p+1)/2)

p是奇素数，证明2^2*4^2*6^2*...*(p-1)^2(mod p)同余于(-1)^((p+1)/2)

p是4n+1或4n+3型，4n+1时，(-1)^((p+1)/2)=-1，
2^2*4^2*6^2*...*(4n)^2
=4（1*2*3*4---2n）^2
mod p=4（1+2+3+---2n）^2=4*[n（2n+1）]^2=4n^2*（2n+1）^2 把4n改为4n+1-1 显然 mod p后余数是-1
同样4n+3的类似 也可以证明

首先 x^2≡-1*(p-x)*x(mod p)，因此 1^2*3^2*…*(p-2)^2 ≡ 2^2*4^2*…*(p-1)^2 ≡ (-1)^((p-1)/2)*1*(p-1)*3*(p-3)*…*(p-2)*2≡ (-1)^((p-1)/2)*(p-1)! (mod p)，最后一个等式是简单的整理顺序。由 Wilson定理,上式 (-1)^((p-1)/2)*(p-1)!≡(-1)^((p-1)/2) (mod p)

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