证明1+1/2+1/3+...+1/n-lnn极限存在 跪求

证明1+1/2+1/3+...+1/n-lnn极限存在 跪求

(1+1/n)^nnln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n),1/(n+1)令an=(1+1/n)^na(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0,
故an是单调递减数列
又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
综上，数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在，在数学上该极限被称为欧拉常数，0.55左右。

1+1/2+1/3+...+1/n=求和（k从1到无穷）(lnk)'
用幂级数的知识，把它收弄；
（反正联系幂级数的知识去做，把形式变成一样的）

(1+1/n)^nnln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n),1/(n+1)令an=(1+1/n)^na(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0,
故an是单调递减数列
又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
综上，数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在，在数学上该极限被称为欧拉常数。

记an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn，由于1＞ln2，1/2＞ln（3/2），1/3＞ln（4/3），……，1/n＞ln（（n+1）/n），所以1+1/2+1/3+...+1/n-lnn＞ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+……+ln（（n+1）/n）-lnn=lnn-lnn=0，所以数列{an}有下界。a（n+1）-an=1+1/2+1/3+...+1/n+1/（n+1）-ln（n+1）-（1+1/2+1/3+...+1/n-lnn）=1/（n+1）-ln（n+1）+lnn=1/（n+1）-ln（（n+1）/n）＜0，所以数列{an}单调递减，由单调有界定理，数列{an}收敛，事实上，它的极限就是欧拉常数。

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