如图已知ab是圆o的弦，半径oc，od与ab分别交于点e，f且ae等于cf求证弧ac等于弧bd

如图已知ab是圆o的弦，半径oc，od与ab分别交于点e，f且ae等于cf求证弧ac等于弧bd

【纠正：AE=BF】
【证法1】
过点O作ON⊥AB，交AB于M，交⊙O于N
则AM=BM，弧AN=弧BN（垂径定理）
∵AE=BF
∴AM-AE=BM-BF
即EM=FM
又∵∠OME=∠OMF=90°，OM=OM
∴△OME≌△OMF（SAS）
∴∠EOM=∠FOM
即∠CON=∠DON
∴弧CN=弧DN（等角对等弧）
∴弧AN-弧CN=弧BN-弧DN
即弧AC=弧BD

【证法2】
作OM⊥AB于M，连接OA、OB。
则AM=BM（垂径定理）
∵AE=BF
∴AM-AE=BM-BF
即EM=EF
∴OM垂直平分EF
∴OE=OF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
又∵AE=BF，OA=OB
∴△AEO≌△BFO（SSS）
∴∠AOE=∠BOF
∴弧AC=弧BD（等角对等弧）

【证法3】
连接OA、OB。
∵OA=OB
∴∠OAE=∠OBF
又∵AE=BF
∴△OAE≌△OBF（SAS）
∴∠AOE=∠BOF
∴弧AC=弧BD（等角对等弧）

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