急！设函数f(x)=2^x+4/(1+2^x).(1)证明f（x）在区间【0，+∞）上是增函数；（2）求函数f(x)的最小值

设函数f(x)=2^x+4/(1+2^x).(1)证明f（x）在区间【0，+∞）上是增函数；（2）求函数f(x)的最小值
要过程

首先增函数的复合函数还是增函数
g(x)=x+a/x 在（1，+∞）上是增函数 a>0
f(x)=2^x+4/(1+2^x)=2^x+1+4/(1+2^x)-1可看成是h(x)=2^x+1和上面a=4的g(x)的复合
h(x)为增函数 g(x)也是增函数
所以f（x）为增函数在h（x）在（1，+∞）上
而h(x)的值域就是（1，+∞）
所以f(x)为增函数

g(x)的最小值是在x=根号a的时候取得
所以f(x)的最小值为h(x)=2时，即x=0的时候
也可由（1）得到最小值为f(0)
则最小值为f(0)=3

(1)定义证明：取x1>x2>=2 所以，f(x1)-f(x2)=(x1^2+2x1+3)/x1 -(x2^2+2x2+3)/x2 =[x2(x1^2+2x1+3)-x1(x2^2+2x2+3)]/(x1x2) =[x1x2(x1-x2)-3(x1-x2)]/(x1x2) =[(x1x2-3)(x1-x2)]/(x1x2) 因为x1>x2>=2，所以x1x2-3>0,x1-x2>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0 证明完毕，函数f(x)为增函数 (注：也可以由导数证明其单调性，更简单些) (2)在(1)的基础上，知道f(2)最小 fmin=f(2)=(4+4+3)/2=11/2

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