一道初三中位线

如图，M，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点，AD⊥BC于D，求证：四边形DEFM为等腰梯形

因为E,F是AC,AB中点

所以EF//MD

又M是BC中点

所以FM=1/2 AC

又直角三角形ADC中，DE是斜边AC的中线

所以ED=1/2 AC

所以FM=ED

所以DEFM是等腰梯形

∵M，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点

所以EF∥BC MF∥AC

∴∠C＝∠FMB＝∠MFE

因为Rt△ACD

∴DE=1/2AC=EC（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）

∴∠C=∠EDC=∠EFD

∴∠EFD=∠MFE

∵MD∥EF

所以DEFM为梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的为梯形）

因为底角相等，所以为等腰梯形（底角相等的梯形是等腰梯形）

如有不明，欢迎追问

EF为中位线 所以EF//BC 同理FM//AC

DE为直角三角形ADC斜边上的中线 所以DE=EC

则∠EDC=∠C

因为FM//AC 所以∠FMB=∠C

则∠EDC=∠FMB

所以∠EMD=∠FMD

所以四边形DEFM为等腰梯形

由中位线定理知道EF//BC，现在只需要求得MF=DE即可

由中位线定理知道MF=1/2AC

在直角三角形ADC中DE为斜边上的中线，所以有DE=1/2AC

所以MF=1/2AC=DE

得证！

RT△ADC斜边上的中线等于斜边的一半，DE=EC=1/2AC

中位线MF=1/2AC

MF=ED

中位线EF平行于BC

所以FMDE是等腰梯形

证明: ∵ Ｅ、Ｆ分别为ＡＣ和ＡＢ的中点 　∴　ＥＦ∥ＢＣ　即ＥＦ∥ＢＣ 　∴　四边形ＤＥＦＭ为梯形 　∵　ＡＤ⊥ＢＣ、ＥＦ∥ＢＣ 　∴　ＡＤ⊥ＥＦ 　∵　ＡＦ＝ＢＦ、ＥＦ∥ＢＣ 　∴　ＥＦ平分ＡＤ（或设ＥＦ与ＡＤ交于Ｏ点、即ＡＯ＝ＯＤ） 　∴　△ＡＥＤ为等腰三角形 　∴　ＥＤ＝ＡＥ 　∵ Ｆ、Ｍ分别为ＡＢ和ＢＣ的中点 　∴　ＦＭ＝ＡＥ＝ＥＤ 　∴　四边形ＤＥＦＭ为等腰梯形。

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